Propiedades del producto vector escalar

 

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

 \begin{array}{rrcl} \langle \cdot,\cdot \rangle : & \; V \times V & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ & (x,y) & \longrightarrow & a = \langle x, y \rangle \end{array}

donde  V \; es un espacio vectorial y {\mathbb {K}} es el cuerpo sobre el que está definido  V \; . La función \langle \cdot,\cdot \rangle (que toma como argumentos dos elementos de  V \; , y devuelve un elemento del cuerpo {\mathbb {K}}) debe satisfacer las siguientes condiciones:

  1. Linealidad por la izquierda:  \langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle , y linealidad conjugada por la derecha:  \langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle
  2. Hermiticidad:  \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle} ,
  3. Definida positiva:  \langle x,x \rangle \geq 0 \,, y  \langle x,x \rangle = 0 \, si y sólo si x = 0,

donde x, y, z \in V son vectores de V, a, b \in \mathbb{K} representan escalares del cuerpo {\mathbb {K}} y \overline{c} es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

 \begin{array}{rrcl} \bullet : & \; V \times V & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ & (x,y) & \longrightarrow & a = x \bullet y \end{array}

Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:  \| x \| := \sqrt{\langle x,x \rangle}

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

 

Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:

1. Conmutativa: \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:  \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m: m (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})= (m\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot(m\mathbf{B})

 

Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar

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